双曲函数

基本定义

• sinh x =(e^x - e^－x)/2
• cosh x =(e^x + e^－x)/2
• tanh x =sinh x / cosh x
• coth x = 1 / tanh x
• sech x = 1 / cosh x
• csch x = 1 / sinh x

sinh 的名称是双曲正弦或超正弦, cosh 是双曲余弦或超余弦, tanh 是双曲正切、coth 是双曲余切、sech 是双曲正割、csch 是双曲余割。

与三角函数的关系

双曲函数与三角函数有如下的关系:

• sin ix = i sinh x
  
• cos ix = cosh x
  
• tan ix = i tanh x
  
• cot ix = -i coth x
  
• sec ix = sech x
  
• csc ix = -i csch x

 

恒等式

与双曲函数有关的恒等式如下:

• cosh2 y - sinh2 y = 1
• 二倍参数:
  • sinh 2y = 2 sinh y cosh y
  • cosh 2y = sinh2 y + cosh2 y
• 参数的加总:
  • sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y
  • cosh (x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
• 平方转二倍参数:
  • sinh2 y = (cosh 2y - 1)/2
  • cosh2 y = (cosh 2y + 1)/2

 

命名原因

双曲函数被如此命名大概是因参数曲线 (sinh t, cosh t) 所描絵的是一条双曲线.

另外, 因参数曲线 (sin t, cos t) 描絵一个圆, 故三角函数亦可称为圆函数.

 

反双曲函数

反双曲函数是双曲函数的反函数. 它们的定义为:

• sinh^－1 x = ln[x + (x²+1)^1/2]
• cosh^－1 x = －ln[x - (x²+1)^1/2]
• tanh^－1 x = ln[(1+x)/(1-x)]/2 = ln[(1-x²)^1/2/(1-x)]
• coth^－1 x = ln[(x+1)/(x-1)]/2 = ln[(x²-1)^1/2/(x-1)]
• sech^－1 x = ln{x / [1-(1-x²)^1/2]}
• csch^－1 x = ln{[1+(1+x²)^1/2] / x}